可以不补签劳动合同吗

可以，并且可以申请赔偿。未签劳动合同属于用人单位的责任，补签劳动合同时应该签订的日期应该是当日日期，并且用人单位应该向劳动者支付未签订合同期间自用工满一月起至未满一年期间的双倍工资。
《劳动合同法》第八十二条
用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。