私下自愿变更抚养权可以吗

可以。
《关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》第十七条规定：父母双方协议变更子女抚养关系的，应予准许。因此，一旦离婚夫妻双方对变更抚养权事项达成一致意见，双方可以自行私下签订变更子女抚养权协议，把变更抚养权的事实在协议书上写清就行，只要协议合法，是双方真实意愿，一经双方签字即有效。